Niewiele kształtów geometrycznych jest tak różnorodnych jak wielokąty. Obejmują one znajomy trójkąt, kwadrat i pięciokąt, ale to dopiero początek.
W geometrii wielokąt to dowolny dwuwymiarowy kształt, który spełnia następujące warunki:
- Składa się z trzech lub więcej linii prostych
- Zamyka się bez otworów i przerw w kształcie
- Ma pary linii, które łączą się w rogach lub wierzchołkach, gdzie tworzą kąty
- Ma taką samą liczbę boków i kątów wewnętrznych
Dwuwymiarowy oznacza płaski jak kartka papieru. Kostki nie są wielokątami, ponieważ są trójwymiarowe. Okręgi nie są wielokątami, ponieważ nie zawierają linii prostych.
Specjalny rodzaj wielokąta może mieć różne kąty. W tym przypadku nazywa się to wielokątem nieregularnym.
O wielokątach
Nazwa wielokąt pochodzi od dwóch greckich słów:
- Poly, co oznacza wiele
- Gon, co oznacza kąt
Kształty będące wielokątami
- Trigon (trójkąt): 3 strony
- Tetragon (kwadrat): 4 strony
- Pentagony: 5 stron
- Sześciokąt: 6 stron
- Siedmiokąt: 7 stron
- Oktagony: 8 stron
- Nonagon: 9 stron
- Dekagon: 10 stron
- Undecagon: 11 stron
- Dodecagony: 12 stron
Jak nazywa się wielokąty
Nazwy poszczególnych wielokątów wywodzą się z liczby boków lub narożników kształtu. Wielokąty mają taką samą liczbę boków i rogów.
Powszechną nazwą większości wielokątów jest grecki przedrostek oznaczający „boki” dołączony do greckiego słowa oznaczającego róg (gon).
Przykłady tego dla pięcio- i sześciobocznych wielokątów foremnych to:
- Penta (z greckiego oznacza pięć) + gon= pentagon
- Hexa (z greckiego oznacza sześć) + gon= sześciokąt
Istnieją wyjątki od tego schematu nazewnictwa. Przede wszystkim ze słowami częściej używanymi dla niektórych wielokątów:
- Trójkąt: Używa greckiego przedrostka Tri, ale zamiast greckiego gon, łacińskiego angle Używany jest. Trigon to prawidłowa nazwa geometryczna, ale jest rzadko używana.
- Czterostronny: Pochodzi z łacińskiego przedrostka quadri, oznaczającego cztery, dołączony do słowa boczny, co jest innym łacińskim słowem oznaczającym bok.
- Kwadrat: Czasami czworoboczny wielokąt (kwadrat) jest określany jako kwadrat lub czworokąt.
N-Gony
Wielokąty z więcej niż 10 bokami są rzadko spotykane, ale stosują tę samą grecką konwencję nazewnictwa. Tak więc wielokąt o 100 bokach jest określany jako hektogon.
Jednak w matematyce pięciokąty są czasami wygodniej określane jako n-gons:
- 11-kąt: Hendecagon
- 12-kąt: Dodecagon
- 20-kąt: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
W matematyce n-kąty i ich greckie odpowiedniki są używane zamiennie.
Limit wielokątów
Teoretycznie nie ma ograniczeń co do liczby boków wielokąta.
W miarę zwiększania się wewnętrznych kątów wielokąta i zmniejszania długości jego boków wielokąt zbliża się do okręgu, ale nigdy do niego nie dociera.
Klasyfikacja wielokątów
Regularne a nieregularne wielokąty
Wielokąty są klasyfikowane na podstawie tego, czy wszystkie kąty lub boki są równe.
- Wielokąt regularny: Wszystkie kąty mają jednakowy rozmiar, a wszystkie boki mają jednakową długość.
- Nieregularny wielokąt: Nie ma jednakowych kątów ani boków o jednakowej długości.
Wypukłe i wklęsłe wielokąty
Drugim sposobem klasyfikacji wielokątów jest rozmiar ich wewnętrznych kątów.
- Wypukłe wielokąty: Nie mają wewnętrznych kątów większych niż 180°.
- Wklęsłe wielokąty: Mieć przynajmniej jeden kąt wewnętrzny większy niż 180°.
Proste i złożone wielokąty
Innym sposobem klasyfikacji wielokątów jest przecinanie się linii tworzących wielokąt.
- Proste wielokąty: Linie łączą się lub przecinają tylko raz - na wierzchołkach.
- Złożone wielokąty: Linie przecinają się więcej niż raz.
Nazwy złożonych wielokątów czasami różnią się od nazw prostych wielokątów o tej samej liczbie boków.
Na przykład:
- Kształt regularny sześciokąt to sześcioboczny, prosty wielokąt.
- Gwiazda w kształcie heksagram to sześcioboczny, złożony wielokąt utworzony przez zachodzenie na siebie dwóch trójkątów równobocznych.
Zasada sumy kątów wewnętrznych
Z reguły za każdym razem, gdy do wielokąta dodawany jest bok, na przykład:
- Od trójkąta do czworoboku (od trzech do czterech boków)
- Od pięciokąta do sześciokąta (od pięciu do sześciu boków)
kolejne 180° jest dodawane do wszystkich kątów wewnętrznych.
Ta reguła może być zapisana jako formuła:
(n - 2) × 180°
gdzie n jest równe liczbie boków wielokąta.
Więc sumę kątów wewnętrznych dla sześciokąta można znaleźć za pomocą wzoru:
(6 - 2) × 180°=720°
Ile trójkątów w tym wielokącie?
Powyższy wzór na kąt wewnętrzny uzyskuje się poprzez podzielenie wielokąta na trójkąty, a tę liczbę można znaleźć za pomocą obliczeń:
n - 2
W tym wzorze n jest równe liczbie boków wielokąta.
Sześciokąt (sześć boków) można podzielić na cztery trójkąty (6–2), a dwunastokąt na 10 trójkątów (12–2).
Rozmiar kąta dla regularnych wielokątów
W przypadku wielokątów regularnych, w których wszystkie kąty mają ten sam rozmiar, a boki tej samej długości, rozmiar każdego kąta w wielokącie można obliczyć, dzieląc całkowity rozmiar kątów (w stopniach) przez całkowitą liczbę boków.
Dla zwykłego sześciokąta sześciobocznego każdy kąt to:
720° ÷ 6=120°
Niektóre dobrze znane wielokąty
Dobrze znane wielokąty obejmują:
Wiązary
Więźby dachowe są często trójkątne. W zależności od szerokości i nachylenia dachu kratownica może zawierać trójkąty równoboczne lub równoramienne. Ze względu na dużą wytrzymałość trójkąty są wykorzystywane do budowy mostów i ram rowerowych. Są widoczne w Wieży Eiffla.
Pięciokąt
Pentagon – siedziba Departamentu Obrony USA – bierze swoją nazwę od jego kształtu. Budynek jest pięcioboczny, foremny pięciokąt.
Płyta domowa
Kolejnym dobrze znanym pięciobocznym pięciokątem foremnym jest tablica domowa na bejsbolowym rombie.
Fałszywy Pentagon
Gigantyczne centrum handlowe w pobliżu Szanghaju w Chinach jest zbudowane w kształcie regularnego pięciokąta i jest czasami nazywane Fałszywym Pentagonem.
Płatki śniegu
Każdy płatek śniegu zaczyna się jako sześciokąt, ale temperatura i wilgotność dodają gałęzie i wąsy, dzięki czemu każdy z nich wygląda inaczej.
Pszczoły i osy
Naturalne sześciokąty obejmują również ule, w których każda komórka w plastrze miodu, którą pszczoły konstruują do przechowywania miodu, jest sześciokątna. Gniazda os papierowych zawierają również sześciokątne komórki, w których wychowują swoje młode.
Glinia Olbrzyma
Sześciokąty znajdują się również na Grobli Olbrzyma w północno-wschodniej Irlandii. Jest to naturalna formacja skalna złożona z około 40 000 zazębiających się baz altowych kolumn, które powstały jako lawa ze starożytnej erupcji wulkanu, która powoli się ochładzała.
Ośmiokąt
Oktagon – nazwa nadana pierścieniowi lub klatce używanej w walkach Ultimate Fighting Championship (UFC) – bierze swoją nazwę od jego kształtu. Jest to ośmioboczny ośmiokąt foremny.
Znaki stop
Znak stopu - jeden z najbardziej znanych znaków drogowych - to kolejny ośmioboczny ośmiokąt foremny. Chociaż kolor, sformułowania lub symbole na znaku mogą się różnić, ośmiokątny kształt znaku stop jest używany w wielu krajach na całym świecie.